“Here’s the situation. You are asked to pick one of three doors. Donkeys are behind two of them, and a new car is behind another. After you choose your door, but before it’s revealed to you, Monty Hall (the emcee) opens one of the doors you didn’t choose and reveals a donkey. He then asks if you’d like to switch from your initial choice to the remaining door. It turns out that if you agree to switch, you double (?) your chance of winning.”(bron)
Ik kende dit probleem niet totdat het als voorbeeld bij de IMS QTI-specificatie uitgewerkt werd door Steve Lay. Voordat je verder leest, ik heb je gewaarschuwd: dit kan je hoofdpijn bezorgen!
Hier is de beginsituatie van het spel:
Er zijn drie deuren. Achter één van de drie deuren zit een zak met geld, achter de andere twee deuren een ezel.
Nadat je één deur (stel deur 1) gekozen hebt (maar nog niet geopend), wil Monty Hall (de Carlo Boshart van dit spel) het moeilijker (of juist gemakkelijker?) voor je maken. Hij opent een van de andere twee deuren (stel deur 3). Verrassing! Achter de geopende deur staat een ezel!
Opluchting alom, want er zit in ieder geval geen prijs achter die deur. Wij weten overigens natuurlijk wel beter en weten dat Monty nooit ‘per ongeluk’ de deur met het geld open maakt, maar alleen een van de twee deuren met een ezel.
Maar, nu wordt het moeilijker: Monty vraagt je of je nog steeds bij je oorspronkelijke keuze (deur 1) wilt blijven, of dat je van deur wilt veranderen (deur 2).
Dat wat mensen veel hoofdpijn bezorgt is de volgende regel: Door van deur te veranderen nemen je kansen om te winnen toe!
Voor je gevoel heb je namelijk, nadat een foute deur geopend is, nog ‘gewoon’ 50% kans om de goede deur te kiezen en kun je dus net zo goed bij dezelfde deur blijven als een andere deur kiezen. Maar dat is dus niet waar!
Eerste de brute kracht uitleg. Op deze website, waar ik ook de schermafdrukken van heb, kun je het spel zelf zo vaak als je wilt uitproberen. In de schermafdruk hierboven kun je zien dat ik 48 spelletjes Monty Hall gespeeld heb, waarbij ik bij 24 spellen wél en bij 24 spellen niet van deur heb verandert. Aan het aantal keren dat ik zo won kun je zien dat veranderen verstandig is (al is het geen garantie om te winnen en niet veranderen leidt ook regelmatig tot winst!).
Waarom veranderen?
Een poging om het uit te leggen dan. Het probleem met die 50% kans regel is dat je niet alle informatie mee neemt in de kansberekening.
Uitgangssituatie was: 3 deuren
Kans dat je een foute deur kiest: 2/3
Kans dat je de goede deur kiest: 1/3
Nadat een foute deur geopend is, zijn er nog twee deuren open: één met een ezel, één met het geld.
Wél veranderen van deur
Er zijn dat twee mogelijke situaties als je kiest om wél van deur te veranderen:
A) je had al de goede deur, veranderen leidt tot verlies
B) je had een foute deur, veranderen leidt tot winst
De kans dat situatie A) optreedt was en is 1/3 (zie hierboven), de kans dat situatie B) optreedt was en is 2/3. De kans dat je wint (situatie B) is bij veranderen van deur dus 2 keer zo groot als de kans dat je verliest (situatie A).
Niet veranderen van deur
Je kunt het ook andersom beredeneren:
Er zijn dat twee mogelijke situaties als je kiest om niet van deur te veranderen:
A) je had al de goede deur, niet veranderen leidt tot winst
B) je had een foute deur, niet veranderen leidt tot verlies
De kans dat situatie A) optreedt was en is 1/3 (zie hierboven), de kans dat situatie B) optreedt was en is 2/3. De kans je je verliest (situatie B) is bij niet veranderen 2 keer zo groot als de kans dat je wint (situatie A).
Monty Hall in QTI
Dit spel kun je modelleren in de afspraken zoals vastgelegd in de IMS Question and Test Interoperability (QTI) specificatie voor toetsmaterialen. Een applicatie die QTI-bestanden kan lezen zou dan het spel zoals je het op deze website ziet kunnen laten naspelen. Niet helemaal hetzelfde overigens, want in het voorbeeld (zie ook het XML-bestand) gebruikt een geit in plaats van een ezel 
Omdat het een toetsvraag-voorbeeld is, stelt het in QTI gemaakte voorbeeld na één complete poging de student de vraag of hij/zij begrijpt hoe het probleem werkt. Het is mogelijk het voorbeeld zo uit te breiden dat de student het spel meerdere keren speelt en dat dan net als in dit voorbeeld het aantal keren gewonnen en verloren bijgehouden wordt.
Ik ben overtuigd zonder hoofdpijn te krijgen: toppie!